Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{3-4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{3-4x}\,dx.
Esse é um caso de limite infinito no limite inferior, então vamos achar a primitiva de f(x)=1/(3-4x) e depois usar a definição de integral imprópria via limite.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de
\frac{1}{3-4x},
fazemos a substituição u=3-4x, de modo que du=-4\,dx ou dx=-\tfrac{1}{4}du. Então
\int\frac{dx}{3-4x} =\int\frac{-\tfrac{1}{4}\,du}{u} =-\frac{1}{4}\int\frac{du}{u} =-\frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr|+C =-\frac{1}{4}\ln\bigl|3-4x\bigr|+C.

Passo 3

Definimos a integral imprópria como
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3-4x} =\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0}\frac{dx}{3-4x}.

Passo 4

Usando a primitiva F(x)=-\tfrac{1}{4}\ln\bigl|3-4x\bigr|, temos
\int_{-A}^{0}\frac{dx}{3-4x} =F(0)-F(-A) =-\frac{1}{4}\ln\bigl|3-4\cdot0\bigr| -\Bigl(-\frac{1}{4}\ln\bigl|3-4(-A)\bigr|\Bigr) =-\frac{1}{4}\ln(3) +\frac{1}{4}\ln(3+4A).

Passo 5

Portanto
\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3-4x} =\lim_{A\to\infty}\Bigl[\frac{1}{4}\ln(3+4A)-\frac{1}{4}\ln(3)\Bigr] =\frac{1}{4}\bigl(\underbrace{\ln(3+4A)}_{\to\infty}-\ln3\bigr) =+\infty.
Como o limite diverge para +\infty, a integral não converge.

Resposta

A integral diverge (vai a +\infty).

Exercícios relacionados