Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx
Trata-se de uma integral de tipo I (limite superior vai a infinito). Como para x\ge3 o integrando é contínuo e se comporta como 1/x^{3/2} (com expoente >1), esperamos que ela seja convergente.

Passo 2

Precisamos encontrar uma primitiva de (x-2)^{-3/2}. Usando a regra de potência:
\int (x-2)^{-3/2}\,dx =\frac{(x-2)^{-1/2}}{-1/2} =-2\,(x-2)^{-1/2}+C.

Passo 3

Definindo a integral imprópria como limite, temos
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-2\,(x-2)^{-1/2}\Bigr]_{3}^{b}.
Avaliaremos cada termo:
\lim_{b\to\infty}\bigl[-2\,(b-2)^{-1/2}\bigr] = -2\cdot0 = 0,
-2\,(3-2)^{-1/2} = -2\cdot1 = -2.
Logo,
\int_{3}^{\infty} \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\,dx = 0 - (-2) = 2.

Resposta

2

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