Qual é o domínio das seguintes funções reais?
h(x)=\operatorname{sec} \left(3 x+\frac{\pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
h(x)=\operatorname{sec}\bigl(3x+\tfrac{\pi}{3}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a definição de secante: \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u), que só existe quando \cos(u)\neq0.

Passo 2

Para que \operatorname{sec}\bigl(3x+\tfrac{\pi}{3}\bigr) esteja definida, precisamos de
\cos\bigl(3x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\neq0.

Passo 3

Sabemos que \cos(u)=0 exatamente quando
u = \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui u=3x+\tfrac{\pi}{3}, logo a proibição é
3x+\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{2} + k\pi.

Passo 4

Isolando x:
3x = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{3} + k\pi = \tfrac{3\pi-2\pi}{6} + k\pi = \tfrac{\pi}{6} + k\pi,
x = \frac{\tfrac{\pi}{6} + k\pi}{3} = \tfrac{\pi}{18} + \tfrac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Portanto, o domínio de h é todos os reais, exceto os pontos em que x=\tfrac{\pi}{18}+\tfrac{k\pi}{3}. Em notação de conjuntos:

Resposta

\mathrm{Dom}(h) = \mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{\pi}{18}+\tfrac{k\pi}{3}\,\bigm|\,k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

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