Qual é o domínio das seguintes funções reais?
g(x)=\operatorname{tg}\left(5 x-\frac{\pi}{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
g(x)=\tan\!\Bigl(5x-\frac{\pi}{2}\Bigr).
Para resolver, precisamos lembrar em que pontos a tangente fica indefinida e então excluir esses valores de x.

Passo 2

A tangente é definida como \tan(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}. Ela deixa de existir sempre que \cos\theta=0. Sabemos que
\cos\theta=0\quad\Longleftrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Precisamos impedir que o argumento da tangente atinja esses valores proibidos. Então impomos
5x - \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora é só resolver para x.

Passo 4

Somando \tfrac{\pi}{2} a ambos os lados e dividindo por 5, obtemos
5x \neq \pi + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x \neq \frac{\pi(1 + k)}{5}, \quad k\in\mathbb{Z}.
Isso identifica exatamente os pontos que devem ser excluídos do domínio.

Resposta

O domínio de g é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x \neq \tfrac{\pi(1+k)}{5},\;k\in\mathbb{Z}\}.

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