Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{2}^{\infty} e^{-5 p} d p

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} e^{-5p}\,dp.
O conteúdo é integração de uma função exponencial num intervalo que vai a infinito. Vamos usar a antiderivada de e^{-5p} e depois tomar o limite superior indo a \infty.

Passo 2

Encontramos a antiderivada de e^{-5p}. Como
\frac{d}{dp}\bigl(-\tfrac{1}{5}e^{-5p}\bigr) =-\tfrac{1}{5}\cdot(-5)e^{-5p} =e^{-5p},
temos
\int e^{-5p}\,dp = -\tfrac{1}{5}e^{-5p} + C.

Passo 3

Aplicando os limites de p=2 até p=b e depois fazendo b\to\infty,
\int_{2}^{b} e^{-5p}\,dp =\Bigl[-\tfrac{1}{5}e^{-5p}\Bigr]_{2}^{b} =-\tfrac{1}{5}e^{-5b} -\bigl(-\tfrac{1}{5}e^{-10}\bigr) =\tfrac{1}{5}e^{-10} - \tfrac{1}{5}e^{-5b}.
Como e^{-5b}\to0 quando b\to\infty, o valor da integral imprópria é
\frac{1}{5}e^{-10}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-10}}{5}

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