Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{0} 2^{r} d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0}2^{r}\,dr
que envolve uma função exponencial de base 2 em um limite infinito. Para resolver, vamos usar a definição de integral imprópria como limite e a antiderivada de a^x, que é \tfrac{a^x}{\ln a}.

Passo 2

Reescrevemos a integral imprópria como limite de uma integral própria:
\int_{-\infty}^{0}2^{r}\,dr = \lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{0}2^{r}\,dr.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de 2^{r}. Sabemos que
\frac{d}{dr}\biggl(\frac{2^{r}}{\ln 2}\biggr) = \frac{2^{r}\ln 2}{\ln 2} =2^{r}.
Logo, uma primitiva é
F(r)=\frac{2^{r}}{\ln 2}.

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo [A,0] e depois tomamos A\to -\infty:
\int_{A}^{0}2^{r}\,dr =F(0)-F(A) =\frac{2^{0}}{\ln 2}-\frac{2^{A}}{\ln 2} =\frac{1}{\ln 2}-\frac{2^{A}}{\ln 2}.
Como \lim_{A\to -\infty}2^{A}=0, temos
\lim_{A\to -\infty}\biggl(\frac{1}{\ln 2}-\frac{2^{A}}{\ln 2}\biggr) =\frac{1}{\ln 2}.

Resposta

\int_{-\infty}^{0}2^{r}\,dr = \frac{1}{\ln 2}.

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