Calcule as integrais impróprias usando frações parciais.
(b)
integral0^infty d x(x+1)(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty dx(x+1)(x^2+1)
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo envolve análise de convergência em integrais com domínio não limitado e aplicação de frações parciais para integrar funções racionais.

Passo 2

Antes de integrar, verificamos a convergência em xtoinfty. Para x muito grande,
1(x+1)(x^2+1)sim 1x^3,
e sabemos que integral^infty x^-3dx converge. Não há singularidades em [0,infty), pois x=-1 está fora do intervalo e x^2+1neq0 para todo xinR. Logo, a integral converge.

Passo 3

Fazemos a decomposição
Multiplicando por
Expandindo e agrupando coeficientes:
Igualando a , temos o sistema
Dessa forma e , então
Logo

Passo 4

Integramos termo a termo. Uma primitiva comum é
integraldx(x+1)(x^2+1) =tfrac12lnlvert x+1rvert -tfrac12integralx,dxx^2+1 +tfrac12integraldxx^2+1
Calculando:
-tfrac12integralx,dxx^2+1=-tfrac14ln(x^2+1), tfrac12integraldxx^2+1=tfrac12arctan(x)
Então uma primitiva é
F(x) =tfrac12ln(x+1) -tfrac14ln(x^2+1) +tfrac12arctan(x)

Passo 5

Avaliaremos limRtoinftyF(R)-F(0). Primeiro,
F(R)=tfrac12ln(R+1)-tfrac14ln(R^2+1)+tfrac12arctan(R)
Para Rtoinfty, ln(R+1)simln R e ln(R^2+1)sim2ln R, então
tfrac12ln(R+1)-tfrac14ln(R^2+1)to0, arctan(R)totfracpi2,
logo F(R)totfrac12cdottfracpi2=tfracpi4 Em x=0,
F(0)=tfrac12ln1-tfrac14ln1+tfrac12arctan(0)=0
Portanto a integral vale
integral0^inftydx(x+1)(x^2+1) =F(infty)-F(0)=pi4

Resposta

pi4

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