Calcule os integrais impróprios seguintes
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral impróprio
Vamos usar o Teorema dos Resíduos: estendemos a função
ao plano complexo e integramos num semicírculo de raio
no semiplano superior. Como
decai como
, o arco não contribui e
Os polos são
(simples) e as raízes de
, ou seja
. No semiplano superior ficam
e
.
Passo 2
Cálculo do resíduo em
(polo simples).
Como
, temos
e
. Logo
Passo 3
Cálculo do resíduo em
(polo de ordem 2). Escrevemos
e usamos
Chamando
, tem-se
Em
verifica-se
Portanto
Calculando
, segue
Multiplicando numerador e denominador por
para separar real e imaginário, obtém-se
Passo 4
Soma dos resíduos no semiplano superior:
Pela fórmula do contorno,
Mas a parte imaginária
não contribui num integral real; o valor real é