Calcule os integrais impróprios seguintes
integral-infty^infty d x(x^2+1)(x^2+4 x+5)^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral impróprio
integral-infty^inftydx(x^2+1),(x^2+4x+5)^2
Vamos usar o Teorema dos Resíduos: estendemos a função
f(x)=1(x^2+1)(x^2+4x+5)^2
ao plano complexo e integramos num semicírculo de raio Rtoinfty no semiplano superior. Como f(z) decai como 1/z^6, o arco não contribui e
integral-infty^inftyf(x),dx = 2pi isum (resíduos de (f) nos polos no semiplano superior) í
Os polos são z=pm i (simples) e as raízes de z^2+4z+5=0, ou seja z=-2pm i. No semiplano superior ficam z=i e z=-2+i.

Passo 2

Cálculo do resíduo em (polo simples).
Como , temos
e . Logo

Passo 3

Cálculo do resíduo em (polo de ordem 2). Escrevemos
e usamos
Chamando , tem-se
Em verifica-se
Portanto
Calculando , segue
Multiplicando numerador e denominador por para separar real e imaginário, obtém-se

Passo 4

Soma dos resíduos no semiplano superior:
Pela fórmula do contorno,
Mas a parte imaginária não contribui num integral real; o valor real é

Resposta

3pi16

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