Calcule os integrais impróprios seguintes
integral0^infty (x^2-1) d x(x^2-1)(x^2+4)

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral imprópria integral0^infty x^2-1(x^2-1)(x^2+4),dx. O conteúdo envolve integrais impróprias e uso da antiderivada de 1/(x^2+a^2).

Passo 2

Observamos que para xneq1 o fator (x^2-1) no numerador cancela com parte do denominador, simplificando o integrando para uma função contínua em [0,infty):
x^2-1(x^2-1)(x^2+4) = 1x^2+4

Passo 3

Como o único ponto delicado (x=1) foi removido pela simplificação, a impropriedade vem apenas do limite em infinito. Escrevemos:
integral0^infty dxx^2+4 = limR to infty integral0^R dxx^2+4

Passo 4

Para integrar 1/(x^2+4), usamos a fórmula
integral dxx^2+a^2 = 1aarctanl(xar) + C
com a=2. Logo,
integral dxx^2+4 = 12arctanl(x2r) + C

Passo 5

Agora avaliamos o limite:
limR to infty l[tfrac12arctanl(tfracR2r)-tfrac12arctan(0)r] = tfrac12cdot pi2 = pi4

Resposta

pi4

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