Defina o conceito de subconjunto fechado em
e prove que a união de dois subconjuntos fechados é também um conjunto fechado.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente definir o que é um subconjunto fechado em
e depois provar que a união de dois desses subconjuntos fechados também é fechado. Vamos usar conceitos de topologia e propriedades de conjuntos fechados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um subconjunto ser fechado em
. Em termos simples, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso quer dizer que se você tiver uma sequência de números dentro desse conjunto que converge para um certo valor, esse valor também deve estar dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos considerar dois subconjuntos fechados em
, vamos chamar eles de
e
. Queremos provar que a união desses dois conjuntos,
, também é um conjunto fechado.
Passo 4
Para provar que
é fechado, precisamos mostrar que ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se tivermos uma sequência de elementos em
que converge para algum ponto
, então
também deve estar em
.
Passo 5
Suponha que
seja uma sequência em
que converge para
. Cada termo
está ou em
ou em
. Como
e
são fechados, se uma subsequência de
está totalmente dentro de
, então o limite
está em
. Da mesma forma, se uma subsequência está totalmente dentro de
, então
está em
.
Passo 6
Como a sequência
toda está em
, pelo menos uma das duas situações deve ocorrer: a subsequência está em
ou em
. Portanto, o limite
estará ou em
ou em
, o que significa que
está em
.
Resposta
Concluímos que a união de dois subconjuntos fechados em
também é um conjunto fechado.