Defina o conceito de subconjunto fechado em R e prove que a união de dois subconjuntos fechados é também um conjunto fechado.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente definir o que é um subconjunto fechado em R e depois provar que a união de dois desses subconjuntos fechados também é fechado. Vamos usar conceitos de topologia e propriedades de conjuntos fechados para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um subconjunto ser fechado em R. Em termos simples, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso quer dizer que se você tiver uma sequência de números dentro desse conjunto que converge para um certo valor, esse valor também deve estar dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois subconjuntos fechados em R, vamos chamar eles de A e B. Queremos provar que a união desses dois conjuntos, A cup B, também é um conjunto fechado.

Passo 4

Para provar que A cup B é fechado, precisamos mostrar que ele contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se tivermos uma sequência de elementos em A cup B que converge para algum ponto x, então x também deve estar em A cup B.

Passo 5

Suponha que xn seja uma sequência em A cup B que converge para x. Cada termo xn está ou em A ou em B. Como A e B são fechados, se uma subsequência de xn está totalmente dentro de A, então o limite x está em A. Da mesma forma, se uma subsequência está totalmente dentro de B, então x está em B.

Passo 6

Como a sequência xn toda está em A cup B, pelo menos uma das duas situações deve ocorrer: a subsequência está em A ou em B. Portanto, o limite x estará ou em A ou em B, o que significa que x está em A cup B.

Resposta

Concluímos que a união de dois subconjuntos fechados em R também é um conjunto fechado.

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