Sejam S1 e S2 subconjuntos finitos de R^n tais que S1 subset S2, com S1 neq S2. Se S2 é linearmente independente, então:
S1 pode ser linearmente independente? Dê um exemplo em caso afirmativo.

Passo 1

No enunciado, temos dois conjuntos finitos S1 e S2 em R^n , onde S1 subset S2 e S1 neq S2 . É dado que S2 é linearmente independente. A pergunta é: S1 também pode ser linearmente independente? Se sim, dê um exemplo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores.

Passo 3

Sabemos que S2 é linearmente independente. Queremos saber se um subconjunto S1 de S2 , que não é igual a S2 , também pode ser linearmente independente. A ideia aqui é verificar se a independência linear é uma propriedade que se mantém ao passar para subconjuntos.

Passo 4

A boa notícia é que sim, qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Isso ocorre porque, ao remover vetores de um conjunto independente, você não está adicionando nenhuma dependência; pelo contrário, você está simplificando a estrutura.

Passo 5

Para ilustrar isso, vamos dar um exemplo concreto. Vamos trabalhar no espaço R^2 , que é fácil de visualizar.

Passo 6

Considere S2 = v1, v2 = (1, 0), (0, 1) . Esse conjunto é linearmente independente porque nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro. A única combinação linear que dá o vetor zero é 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = (0, 0) .

Passo 7

Agora, vamos escolher S1 = v1 = (1, 0) . Esse é um subconjunto de S2 . Como temos apenas um vetor, não há como ele ser dependente linearmente (a não ser que fosse o vetor zero, o que não é o caso aqui). Portanto, S1 também é linearmente independente.

Resposta

Sim, S1 pode ser linearmente independente. Por exemplo, em R^2 , se S2 = , (1, 0), (0, 1) , é linearmente independente, então um subconjunto como S1 = , (1, 0) , também é linearmente independente.

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