Sejam
e
subconjuntos finitos de
tais que
, com
. Se
é linearmente independente, então:
pode ser linearmente independente? Dê um exemplo em caso afirmativo.
Passo 1
No enunciado, temos dois conjuntos finitos
e
em
, onde
e
. É dado que
é linearmente independente. A pergunta é:
também pode ser linearmente independente? Se sim, dê um exemplo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros vetores.
Passo 3
Sabemos que
é linearmente independente. Queremos saber se um subconjunto
de
, que não é igual a
, também pode ser linearmente independente. A ideia aqui é verificar se a independência linear é uma propriedade que se mantém ao passar para subconjuntos.
Passo 4
A boa notícia é que sim, qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Isso ocorre porque, ao remover vetores de um conjunto independente, você não está adicionando nenhuma dependência; pelo contrário, você está simplificando a estrutura.
Passo 5
Para ilustrar isso, vamos dar um exemplo concreto. Vamos trabalhar no espaço
, que é fácil de visualizar.
Passo 6
Considere
. Esse conjunto é linearmente independente porque nenhum dos vetores pode ser escrito como um múltiplo do outro. A única combinação linear que dá o vetor zero é
.
Passo 7
Agora, vamos escolher
. Esse é um subconjunto de
. Como temos apenas um vetor, não há como ele ser dependente linearmente (a não ser que fosse o vetor zero, o que não é o caso aqui). Portanto,
também é linearmente independente.
Resposta
Sim,
pode ser linearmente independente. Por exemplo, em
, se
é linearmente independente, então um subconjunto como
também é linearmente independente.