Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
5 - Considere a equação diferencial
.
d) Encontre a solução desta equação que satisfaz
.
5 - Considere a equação diferencial
d) Encontre a solução desta equação que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução que satisfaz
.
O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.
O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos em forma diferencial exata
onde
Calculamos
e vemos que
, logo não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante da forma
.
A condição de exatidão para leva a
A condição de exatidão para
o que resulta em
e
.
Assim o fator integrante é .
Assim o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
:
Agora é exata, pois
Passo 5
Existe função potencial
tal que
Integrando em
:
Como
deve igualar
, segue
e
.
Logo
Logo
Passo 6
A solução geral implícita é
Usando
:
ou seja
.
Passo 7
Podemos deixar a solução em forma implícita ou resolver para
.
Multiplicando tudo por 2:
Multiplicando tudo por 2:
que é uma quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Para
e
escolhe-se o “
”.
Resposta
que satisfaz
.