2^a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
5 - Considere a equação diferencial 2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0.
d) Encontre a solução desta equação que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2y^2 + 2yx + l(2xy + 2 + yxr),y' = 0
e pede a solução que satisfaz y(1)=1.
O conteúdo aqui é equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial exata
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y)=2y^2+2yx, N(x,y)=2xy+2+yx
Calculamos
partial Mpartial y=4y+2x, partial Npartial x=2y-yx^2,
e vemos que partial M/partial yneqpartial N/partial x, logo não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante da forma mu(x,y)=x^m y^n.
A condição de exatidão para mu M,dx+mu N,dy leva a
nM/y - mN/x = partial Npartial x-partial Mpartial y,
o que resulta em m=1 e n=0.
Assim o fator integrante é mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a EDO por x:
(2x y^2 +2y),dx + (2x^2y+2x+y),dy=0
Agora é exata, pois
partialpartial y(2x y^2 +2y)=4xy+2 e partialpartial x(2x^2y+2x+y)=4xy+2

Passo 5

Existe função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=2x y^2 +2y
Integrando em x:
psi(x,y)=x^2y^2+2xy + h(y)
Como
partial psipartial y=2x^2y+2x + h'(y)
deve igualar 2x^2y+2x+y, segue h'(y)=y e h(y)=tfracy^22.
Logo
psi(x,y)=x^2y^2+2xy+y^22

Passo 6

A solução geral implícita é
psi(x,y)=C ;Longrightarrow; x^2y^2+2xy+y^22=C
Usando y(1)=1:
1^2cdot1^2 +2cdot1cdot1 + 1^22 = C ;Longrightarrow; 1 +2 + tfrac12 = 72,
ou seja C=tfrac72.

Passo 7

Podemos deixar a solução em forma implícita ou resolver para y.
Multiplicando tudo por 2:
2x^2y^2 +4xy + y^2 = 7,
que é uma quadrática em y:
(2x^2+1)y^2 +4x,y -7=0
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -4x pm raiz16x^2 +28(2x^2+1)2(2x^2+1) = -4x pm 2raiz18x^2+72(2x^2+1) = -2x pm raiz18x^2+72x^2+1
Para x=1 e y(1)=1 escolhe-se o “ +”.

Resposta

boxedy(x)=-2x + raiz18x^2+72x^2+1
que satisfaz y(1)=1.

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