Calcule as integrais indefindas, lembrando de utilizar o método da substituição para as integrais de funções compostas:
\int 5 x \operatorname{sen}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 5x\,\sin(5x)\,dx
Este tipo de integral é de função composta multiplicada por outro fator, então vamos usar primeiro o método da substituição para simplificar o argumento de \sin, e depois, se necessário, recorrer à integração por partes.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 5x
Logo
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Também x = \frac{u}{5}.

Passo 3

Substituindo em \int 5x\,\sin(5x)\,dx, temos
\int 5 \Bigl(\frac{u}{5}\Bigr)\sin(u)\,\frac{du}{5} = \int \frac{u}{5}\,\sin(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int u\,\sin(u)\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int u\,\sin(u)\,du, usamos integração por partes. Seja
\begin{aligned} a) &\quad v = u,\quad dw = \sin(u)\,du,\\\ b) &\quad dv = du,\quad w = -\cos(u). \end{aligned}
Então
\int u\,\sin(u)\,du = u\bigl(-\cos(u)\bigr) - \int 1\cdot\bigl(-\cos(u)\bigr)\,du = -u\cos(u) + \int \cos(u)\,du = -u\cos(u) + \sin(u) + C.
Voltando ao fator \tfrac{1}{5}, obtemos
\frac{1}{5}\int u\,\sin(u)\,du = \frac{1}{5}\bigl(-u\cos(u) + \sin(u)\bigr) + C.

Passo 5

Substituindo u=5x de volta, dá
\frac{1}{5}\bigl(-5x\cos(5x) + \sin(5x)\bigr) + C = -x\cos(5x) + \frac{\sin(5x)}{5} + C.

Resposta

-x\cos(5x) + \frac{\sin(5x)}{5} + C

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