Calcule as primitivas indicadas:
\int\left(t^{2}+1\right) e^{t} dt

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada (primitiva) de (t^{2}+1)e^{t}. Vamos usar o método de integração por partes, que afirma que
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Será necessário aplicá-lo duas vezes até eliminar o termo em t.

Passo 2

Primeira aplicação de integração por partes. Escolhemos
u = t^{2}+1, \quad dv = e^{t}dt.
Então
du = 2t\,dt, \quad v = e^{t},
e
\int (t^{2}+1)e^{t}dt = (t^{2}+1)e^{t} - \int 2t\,e^{t}dt.

Passo 3

Para calcular \int 2t\,e^{t}dt, aplicamos integração por partes novamente com
u = 2t, \quad dv = e^{t}dt.
Assim
du = 2\,dt, \quad v = e^{t},
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\int 2t\,e^{t}dt = 2t\,e^{t} - \int 2\,e^{t}dt = 2t\,e^{t} - 2e^{t}.

Passo 4

Voltando à expressão original:
\int (t^{2}+1)e^{t}dt = (t^{2}+1)e^{t} \;-\;\bigl(2t\,e^{t} - 2e^{t}\bigr) = \bigl(t^{2}-2t+3\bigr)e^{t} + C.

Resposta

\int (t^{2}+1)e^{t}dt = (t^{2}-2t+3)e^{t} + C.

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