Calcule as integrais indefindas, lembrando de utilizar o método da substituição para as integrais de funções compostas:
\int t e^{3 t} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da função composta t e^{3t}, ou seja,
\int t e^{3t}\,dt,
e sugere usar o método da substituição para lidar com o termo e^{3t}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3t, \quad du = 3\,dt \;\Longrightarrow\; dt = \frac{du}{3}, \quad t = \frac{u}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
\int t e^{3t}\,dt = \int \frac{u}{3}\,e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{9}\,\int u\,e^{u}\,du.

Passo 4

Calculamos \displaystyle \int u\,e^{u}\,du por integração por partes. Tomamos \displaystyle U = u,\\ dV = e^{u}\,du para obter
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C_{1}.

Passo 5

Voltando à constante \tfrac{1}{9} e à variável t,
\int t e^{3t}\,dt = \frac{1}{9}\bigl(u\,e^{u}-e^{u}\bigr)+C = \frac{u\,e^{u}}{9}-\frac{e^{u}}{9}+C = \frac{3t\,e^{3t}}{9}-\frac{e^{3t}}{9}+C = \frac{t\,e^{3t}}{3}-\frac{e^{3t}}{9}+C.

Resposta

\int t e^{3t}\,dt = \frac{t\,e^{3t}}{3} - \frac{e^{3t}}{9} + C.

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