Calcule as integrais indefindas, lembrando de utilizar o método da substituição para as integrais de funções compostas:
\int x^{2} \ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\,\ln(3x)\,dx
Aqui vamos aplicar o método de integração por partes, que é útil quando a integral envolve um produto em que uma parcela simplifica ao derivar e a outra é fácil de integrar. No nosso caso, escolhemos derivar \ln(3x) (pois sua derivada fica simples pela regra da cadeia) e integrar x^2.

Passo 2

Definimos
u = \ln(3x), \quad dv = x^2\,dx.
Então, calculamos du e v:
du = d\bigl(\ln(3x)\bigr) = \frac{1}{3x}\,\cdot 3\,dx = \frac{dx}{x},
v = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int x^2\,\ln(3x)\,dx = \ln(3x)\,\frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3}\,\frac{dx}{x}.
Dentro da segunda integral aparece
\frac{x^3}{3}\,\frac{1}{x} = \frac{x^2}{3},
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Passo 4

\int x^2\,\ln(3x)\,dx = \frac{x^3}{3}\,\ln(3x) - \int \frac{x^2}{3}\,dx = \frac{x^3}{3}\,\ln(3x) - \frac{1}{3}\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\,\ln(3x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3} + C.
Simplificando,
\int x^2\,\ln(3x)\,dx = \frac{x^3}{3}\,\ln(3x) - \frac{x^3}{9} + C = \frac{x^3}{9}\bigl(3\ln(3x)-1\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int x^{2}\,\ln(3x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(3x) - \frac{x^{3}}{9} + C.}

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