Calcule as primitivas indicadas:
\int\left(\frac{x}{2}-1\right) \operatorname{sen}(x) dx

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int\Bigl(\frac{x}{2}-1\Bigr)\operatorname{sen}(x)\,dx.
O conteúdo principal é integração de produto de polinômio por função trigonométrica; vamos usar decomposição da integral e, para o termo com x\operatorname{sen}(x), aplicar integração por partes.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\Bigl(\frac{x}{2}-1\Bigr)\operatorname{sen}(x)\,dx =\frac12\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx \;-\;\int\operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Calculemos
I_1=\int x\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
Usando integração por partes, tome
u = x,\quad dv=\operatorname{sen}(x)\,dx
então
du=dx,\quad v=-\cos(x).
Logo
I_1 = u\,v - \int v\,du = -x\cos(x) - \int\bigl(-\cos(x)\bigr)\,dx = -x\cos(x) + \int\cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora a parte simples:
I_2=\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x).

Passo 5

Voltando à integral original:
\int\Bigl(\tfrac{x}{2}-1\Bigr)\operatorname{sen}(x)\,dx =\frac12\,I_1 - I_2 =\frac12\bigl(-x\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\bigr)-\bigl(-\cos(x)\bigr) =-\frac{x}{2}\cos(x)+\frac{\operatorname{sen}(x)}{2}+\cos(x)+C.

Resposta

-\frac{x}{2}\cos(x)+\frac{\operatorname{sen}(x)}{2}+\cos(x)+C.

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