Calcule as integrais indefindas, lembrando de utilizar o método da substituição para as integrais de funções compostas:
\int(t-1) e^{-t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (t-1)e^{-t}\,dt
usando o método de substituição (e, quando necessário, integração por partes). Vamos decompor a integral em partes mais simples e aplicar as técnicas adequadas.

Passo 2

Separe a integral em duas parcelas usando a linearidade:
\int (t-1)e^{-t}\,dt = \int t\,e^{-t}\,dt \;-\; \int e^{-t}\,dt.

Passo 3

Calcule \displaystyle \int t\,e^{-t}\,dt por integração por partes. Seja
u = t, \quad dv = e^{-t}\,dt;
então
du = dt, \quad v = \int e^{-t}\,dt = -\,e^{-t}.
Pela fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, vem
\int t\,e^{-t}\,dt = t\cdot(-e^{-t}) \;-\; \int \bigl(-e^{-t}\bigr)\,dt = -\,t\,e^{-t} + \int e^{-t}\,dt = -\,t\,e^{-t} -\;e^{-t}.

Passo 4

Agora volte à expressão original:
\int (t-1)e^{-t}\,dt = \bigl(-\,t\,e^{-t}-e^{-t}\bigr) \;-\; \bigl(-e^{-t}\bigr) = -\,t\,e^{-t}.
Não esquecer da constante de integração.

Resposta

\int (t-1)e^{-t}\,dt = -\,t\,e^{-t} + C.

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