Calcule as integrais indefindas, lembrando de utilizar o método da substituição para as integrais de funções compostas:
\int y^{2} \cos \left(\frac{y}{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int y^{2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)\,dy.
Este é um caso de função composta, então vamos usar o método da substituição para isolar \cos(y/2) e, em seguida, aplicar integração por partes para lidar com o polinômio y^2.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \frac{y}{2}, \quad y = 2u, \quad dy = 2\,du, \quad y^2 = 4u^2,
temos
\int y^{2}\cos\!\Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)\,dy = \int 4u^2\,\cos(u)\cdot 2\,du = 8 \int u^2\cos(u)\,du.

Passo 3

Definimos
I = \int u^2\cos(u)\,du
e aplicamos integração por partes com
a = u^2,\quad db = \cos(u)\,du \quad\Longrightarrow\quad da = 2u\,du,\quad b = \sin(u).
Isso dá
I = u^2\sin(u) \;-\;\int 2u\,\sin(u)\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int 2u\,\sin(u)\,du, note que
\int 2u\,\sin(u)\,du = 2\int u\,\sin(u)\,du.
Fazendo outra integração por partes com
c = u,\quad dd = \sin(u)\,du \quad\Longrightarrow\quad dc = du,\quad d = -\cos(u),
obtemos
\int u\,\sin(u)\,du = -u\cos(u) + \int \cos(u)\,du = -u\cos(u) + \sin(u).
Logo
\int 2u\,\sin(u)\,du = 2\bigl(-u\cos(u) + \sin(u)\bigr) = -2u\cos(u) + 2\sin(u).
Substituindo em I,
I = u^2\sin(u) - \bigl(-2u\cos(u) + 2\sin(u)\bigr) = u^2\sin(u) + 2u\cos(u) - 2\sin(u).

Passo 5

Voltando à variável y e multiplicando por 8,
8I = 8\bigl(u^2\sin(u) + 2u\cos(u) - 2\sin(u)\bigr) = 8u^2\sin(u) + 16u\cos(u) - 16\sin(u).
Substituindo u=\tfrac{y}{2},
8I = 2y^2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) + 8y\,\cos\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) - 16\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr).
Acrescentamos a constante de integração C.

Resposta

\int y^{2}\cos\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr)\,dy = 2y^2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) + 8y\,\cos\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) - 16\,\sin\!\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr) + C.

Exercícios relacionados