Calcule as primitivas indicadas:
Considerando o método da substituição e integraçăo por partes, analise qual é o método adequado para cada uma das integrais e determine a primitiva em cada caso:
\int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
f(x) = x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)
ou seja, calcular
\int x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Como vemos um \operatorname{sen} de uma função composta \bigl(x^{2}\bigr) e fora aparece x, o método natural aqui é a substituição, pois a derivada de x^{2} é 2x, que é quase o que temos multiplicando a função seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Isso nos permite reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x \operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\,\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo
\tfrac{1}{2}\,\int \operatorname{sen}(u)\,du = \tfrac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\tfrac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x original u = x^{2}, concluímos que uma primitiva de x\operatorname{sen}(x^{2}) é
-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

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