Calcule as primitivas indicadas:
Considerando o método da substituição e integraçăo por partes, analise qual é o método adequado para cada uma das integrais e determine a primitiva em cada caso:
\int t^{2} e^{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int t^{2}e^{t^{2}}\,dt
e nos orienta a escolher entre substituição e partes. Aqui não adianta usar só substituição direta em t^{2}, pois d(t^{2})=2t\,dt e sobra um fator t. Em vez disso, vamos tratar a integral por partes, separando t^{2}=u\cdot v' de modo que v' contenha t e^{t^{2}}, cuja antiderivada a substituição simples resolve.

Passo 2

Escolhemos
u = t, \quad dv = t\,e^{t^{2}}\,dt.
Então
du = dt, \quad v = \int t\,e^{t^{2}}\,dt.
Para achar v, façamos a substituição auxiliar w=t^{2}, de modo que dw=2t\,dt, logo
\int t\,e^{t^{2}}\,dt = \frac12\int e^{w}\,dw = \frac12\,e^{w} = \frac12\,e^{t^{2}}.
Portanto
v = \frac12\,e^{t^{2}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int t^{2}e^{t^{2}}\,dt = t\cdot\frac12e^{t^{2}} - \int \frac12e^{t^{2}}\cdot1\,dt = \frac{t\,e^{t^{2}}}{2} - \frac12\int e^{t^{2}}\,dt.

Passo 4

A integral \displaystyle\int e^{t^{2}}\,dt não se expressa em funções elementares usuais. Introduzimos, então, a função erro imaginária definida por
\operatorname{erfi}(t) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t}e^{s^{2}}\,ds,
o que implica
\int e^{t^{2}}\,dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(t)+C.
Substituindo de volta, obtemos a primitiva completa.

Resposta

\boxed{ \int t^{2}e^{t^{2}}\,dt = \frac{t\,e^{t^{2}}}{2} - \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\operatorname{erfi}(t) + C }.

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