Calcule as integrais indefinidas:
integral(sin x cos x+tan x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(sin xcos x + tan xr),dx
O conteúdo aqui é técnica de integração por soma de integrais e, em cada parcela, podemos usar substituição simples.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integralsin xcos x,dx ;+;integraltan x,dx
Isso é válido porque a integral de soma é a soma de integrais.

Passo 3

Para integralsin xcos x,dx note que, se fizermos u=sin x, então du=cos x,dx. Assim
integralsin xcos x,dx =integral u,du =u^22 =sin^2 x2

Passo 4

Para integraltan x,dx escrevemos tan x=dfracsin xcos x e usamos v=cos x, dv=-sin x,dx. Logo
integraltan x,dx =integralsin xcos x,dx =-integraldvv =-lnl|vr| =-lnl|cos xr|

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integrall(sin xcos x + tan xr),dx =sin^2 x2 -lnl|cos xr| + C

Resposta

sin^2 x2-lnl|cos xr|+C

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