Calcule as integrais indefinidas:
integral x(cos x-sen x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xl(cos x - sin(x^2)r),dx
Aqui vamos usar a linearidade da integral para separar em
integral xcos x,dx ;-;integral xsin(x^2),dx,
depois resolver cada uma com técnicas apropriadas.

Passo 2

Para integral xcos x,dx usamos integração por partes. Seja
u = x, dv = cos x,dx,
então
du = dx, v = sin x
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du,
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x

Passo 3

Para integral xsin(x^2),dx usamos a substituição t = x^2. Então
dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2
Isso dá
integral xsin(x^2),dx = 12integral sin t,dt = -12cos t = -12cos(x^2)

Passo 4

Somando os dois resultados e lembrando do sinal menos na segunda parte, obtemos
integral xl(cos x - sin(x^2)r),dx = l(xsin x + cos xr) - l(-tfrac12cos(x^2)r) + C = xsin x + cos x + tfrac12cos(x^2) + C

Resposta

xsin x + cos x + tfrac12cos(x^2) + C

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