Um empresário realizou um investimento no Banco “A”, por um prazo de 24 meses, a uma taxa de 22 % a.a. No vencimento, resgatou a aplicação e investiu todo o montante no Banco “B”, a uma taxa de 25 % a.a., por um prazo de 32 meses, retirando ao final um valor de R 550.000,00$. Qual foi o valor aplicado inicialmente no Banco “A”?

Passo 1

O enunciado diz que aplicamos um capital inicial P no Banco “A” a uma taxa de 22% ao ano, por 24 meses, e em seguida reinvestimos todo o montante obtido no Banco “B” a uma taxa de 25% ao ano, por 32 meses, obtendo ao final R$550.000,00. O conteúdo aqui é juros compostos, onde cada etapa usa o fator de acumulação (1+i)^t, com t em anos. Convertendo meses em anos temos:
tA=2412=2, tB=3212=83

Passo 2

Calculemos primeiro o montante após o Banco “A”. Usando juros compostos,
M1=Pl(1+0,22r)^2

Passo 3

Em seguida, reinvestimos M1 no Banco “B” a 25% a.a. por 8/3 anos. O montante final é
M2=M1l(1+0,25r)^8/3 =P,(1,22)^2,(1,25)^8/3
Sabemos que M2=550,000.

Passo 4

Para encontrar P, isolamos na equação
P,(1,22)^2,(1,25)^8/3=550,000
de onde
P=550,000(1,22)^2,(1,25)^8/3

Passo 5

Agora, calculando aproximadamente:
(1,22)^2=1,4884, (1,25)^8/3approx1,8137,
logo o produto vale cerca de
1,4884times1,8137approx2,6995,
e então
Papprox550,0002,6995approx203,700

Resposta

O valor aplicado inicialmente foi aproximadamente R$ 203.700,00.

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