Calcule as integrais indefinidas:
integral cos ^4 z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos^4 z ,dz
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar fórmulas de redução de potência.

Passo 2

Primeiro observamos que
cos^4 z = (cos^2 z)^2
E sabemos a fórmula de redução para cos^2 z:
cos^2 z = 1 + cos(2z)2
Logo,
cos^4 z = l(1 + cos(2z)2r)^2

Passo 3

Expandindo o quadrado:
l(1 + cos(2z)2r)^2 = 1 + 2cos(2z) + cos^2(2z)4
Agora aplicamos de novo a redução em cos^2(2z):
cos^2(2z) = 1 + cos(4z)2
Substituindo:
cos^4 z = 1 + 2cos(2z) + tfrac1 + cos(4z)24 = 3 + 4cos(2z) + cos(4z)8
Isto é,
cos^4 z = 38 + 12cos(2z) + 18cos(4z)

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que
integral cos(kz),dz = 1ksin(kz):
integral cos^4 z,dz = integral l(38 + 12cos(2z) + 18cos(4z)r),dz = 38z + 12cdot12sin(2z) + 18cdot14sin(4z) + C
Simplificando os coeficientes:
integral cos^4 z,dz = 38z + 14sin(2z) + 132sin(4z) + C

Resposta

boxedintegral cos^4 z,dz = 38z ;+;14sin(2z);+;132sin(4z);+;C

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