Calcule as integrais indefinidas:
integral tg^3 x sec ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^3x ,sec^5x ,dx
usando identidades trigonométricas e método de substituição.

Passo 2

Usamos a identidade tan^2x=sec^2x-1 para reescrever a parte tan^3x:
tan^3x = tan x,tan^2x = tan x,(sec^2x-1)
Logo,
integral tan^3x ,sec^5x ,dx = integral tan x,(sec^2x-1),sec^5x ,dx = integral l(tan x,sec^7x - tan x,sec^5xr),dx

Passo 3

Para
integral tan x,sec^7x ,dx
fazemos a substituição
u = sec x, du = sec x,tan x,dx
Então
integral tan x,sec^7x ,dx = integral sec^6x,(sec x,tan x,dx) = integral u^6,du = u^77 = sec^7x7

Passo 4

Para
integral tan x,sec^5x ,dx
usamos a mesma substituição u=sec x, du=sec x,tan x,dx. Assim
integral tan x,sec^5x ,dx = integral sec^4x,(sec x,tan x,dx) = integral u^4,du = u^55 = sec^5x5

Resposta

integral tan^3x ,sec^5x ,dx = sec^7x7 ;-;sec^5x5 + C

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