Calcule as integrais indefinidas.
integral(e^theta+tg theta) d theta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de e^theta + tan theta em relação a theta . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais de funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar usar as fórmulas básicas de integração para cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral de e^theta . A função exponencial é uma das mais diretas de integrar. A regra é que a integral de e^x em relação a x é simplesmente e^x mais uma constante de integração.
integral e^theta , dtheta = e^theta + C

Passo 3

Agora, vamos integrar tan theta . Sabemos que tan theta pode ser escrita como sin thetacos theta . Para integrar essa função, usamos uma substituição simples. Vamos definir u = cos theta , então du = -sin theta , dtheta . Reescrevendo a integral:
integral tan theta , dtheta = integral sin thetacos theta , dtheta = -integral duu = -ln |u| + C = -ln |cos theta| + C

Resposta

Juntando as duas integrais, a solução completa é:
integral (e^theta + tan theta) dtheta = e^theta - ln |cos theta| + C

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