Encontre, se existir os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar um pouco de teoria do limite para funções multivariadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da nossa função:
. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então o denominador fica mais ou menos igual a 1. Isso simplifica a nossa análise porque o denominador não está causando nenhum problema de indeterminação.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando tudo por
, que é uma quantidade muito pequena perto de 0, temos:
Isso nos mostra que o numerador está “apertado” entre
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como sabemos que
tende a 0 quando
tende a 0, e o numerador está preso entre
e
, podemos concluir que:
E como o denominador está aproximando-se de 1, o limite da função inteira também será 0.
Resposta
O limite é igual a 0.