Encontre, se existir os limites abaixo:
lim (x, y) (0,0) x^5 sen(xy)x^4+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função x^5 sin(xy)x^4+1 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar um pouco de teoria do limite para funções multivariadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da nossa função: x^4 + 1. Quando x se aproxima de 0, x^4 também se aproxima de 0, então o denominador fica mais ou menos igual a 1. Isso simplifica a nossa análise porque o denominador não está causando nenhum problema de indeterminação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: x^5 sin(xy). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(xy) <= 1
Multiplicando tudo por x^5, que é uma quantidade muito pequena perto de 0, temos:
- x^5 <= x^5 sin(xy) <= x^5
Isso nos mostra que o numerador está “apertado” entre -x^5 e x^5.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como sabemos que x^5 tende a 0 quando x tende a 0, e o numerador está preso entre -x^5 e x^5, podemos concluir que:
lim (x, y) (0,0) x^5 sin(xy) = 0
E como o denominador está aproximando-se de 1, o limite da função inteira também será 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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