Considere a função z=f(x, y) em que
f(x, y)=cc x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Encontre partial zpartial x e partial zpartial y, para todo (x, y) in R^2.

Passo 1

Então, a gente tem uma função z = f(x, y) que está definida de duas formas diferentes dependendo dos valores de x e y . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y , ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y , para todo ponto (x, y) no plano. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis e entender um pouquinho sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função quando (x, y) neq (0, 0) . Nesse caso, a função é dada por:
f(x, y) = x yx^2 + y^2
Aqui, vamos aplicar a Regra do Quociente para encontrar as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x primeiro. Usando a Regra do Quociente:
partial fpartial x = (y)(x^2 + y^2) - (x y)(2x)(x^2 + y^2)^2 = y(x^2 + y^2) - 2x^2 y(x^2 + y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
Agora, vamos calcular partial fpartial y :
partial fpartial y = (x)(x^2 + y^2) - (x y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 + y^2) - 2x y^2(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2
Então, para todo (x, y) neq (0, 0) :
partial zpartial x = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
partial zpartial y = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais no ponto (0, 0) . Para isso, usamos a definição de derivada parcial, que envolve limites.
Primeiro, para partial zpartial x em (0, 0) :
partial zpartial xg|(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
Da mesma forma, para partial zpartial y em (0, 0) :
partial zpartial yg|(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k = limk to 0 0 - 0k = 0

Resposta

Portanto, as derivadas parciais de z = f(x, y) são:
partial zpartial x = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0, 0) 0 & se (x, y) = (0, 0)
partial zpartial y = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0, 0) 0 & se (x, y) = (0, 0)

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