• Questão 7. Considere a Função Maior Inteiro
f(x)=max n in Z mid n <= x
(a) Calcule f(12), f(1), f(54) e f(-15);
(b) Dê o domínio e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado define a função maior inteiro
f(x)=maxninZmid n<= x,
pede em (a) os valores de f em alguns pontos e em (b) o domínio e o esboço do gráfico. Vamos usar a propriedade fundamental dessa função, que é conhecida como “função piso” ou “floor”.

Passo 2

A função piso satisfaz
f(x)=lfloor xrfloor,
isto é, para cada x ela devolve o maior inteiro menor ou igual a x. Logo f(x) é sempre um número inteiro e para n<= x<n+1 temos f(x)=n.

Passo 3

Vamos calcular primeiro
,fl(tfrac12r) e f(1).
Como
0<= tfrac12<1,
vale fl(tfrac12r)=0. Para x=1 temos exatamente um inteiro, então
f(1)=1

Passo 4

Agora fl(tfrac54r) e fl(-tfrac15r). Como
1<=tfrac54<2,
vem fl(tfrac54r)=1. E como
-1<= -tfrac15<0,
vem fl(-tfrac15r)=-1.

Passo 5

O domínio de f é o conjunto de todos os x em que faz sentido falar de maior inteiro menor ou igual a x. Como isso vale para qualquer real, o domínio é
R

Passo 6

Para esboçar o gráfico, note que em cada intervalo
[n,n+1)(ninZ)
a função é constante e igual a n. Ou seja, no trecho de x=n até x=n+1 há um segmento horizontal em y=n, com ponto fechado em x=n e aberto em x=n+1. Em cada inteiro n ocorre um salto de tamanho 1.

Resposta

(a) fl(tfrac12r)=0, f(1)=1, fl(tfrac54r)=1 e fl(-tfrac15r)=-1.
(b) Domínio: R. Gráfico: segmento horizontal em y=n para xin[n,n+1) (ponto fechado em x=n, aberto em x=n+1), com saltos unitários em cada ninZ.

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