Calcule as integrais indefinidas.
integral(3 cossec^2 x-5 sec x tg x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A gente tem que calcular:
integral (3 cosec^2 x - 5 sec x tan x ) dx
Aqui estamos trabalhando com integração, uma parte da matemática que lida com encontrar funções originais a partir das suas derivadas. Vai precisar conhecer as integrais básicas das funções trigonométricas, como cosec^2 x e sec x tan x.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 3 cosec^2 x , dx - integral 5 sec x tan x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral 3 cosec^2 x , dx.
Sabemos que a integral de cosec^2 x é -cot x, então:
integral 3 cosec^2 x , dx = 3 cdot (-cot x) = -3 cot x

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral 5 sec x tan x , dx.
Sabemos que a integral de sec x tan x é sec x, então:
integral 5 sec x tan x , dx = 5 cdot sec x = 5 sec x

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
-3 cot x + 5 sec x + C
Lembrando que C é a constante de integração, que aparece sempre que fazemos uma integral indefinida.

Resposta

-3 cot x + 5 sec x + C

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