Calcule as integrais indefinidas.
integral(3 tg x-4 cos ^2 xcos x) d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral(3 tan x - 4 cos^2 xcos x) dx. Para isso, precisamos usar identidades trigonométricas e regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que tan x = sin xcos x. Então, substituindo na integral, temos:
integral(3 cdot sin xcos x - 4 cos^2 xcos x) dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
3 cdot sin xcos x - 4 cos^2 xcos x = 3 sin xcos^2 x - 4 cos x
Então, a integral fica:
integral (3 sin xcos^2 x - 4 cos x) dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral 3 sin xcos^2 x dx - integral 4 cos x , dx

Passo 5

Começamos resolvendo a primeira integral integral 3 sin xcos^2 x dx. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja u = cos x, então du = -sin x dx, ou seja, sin x dx = -du.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral 3 sin xcos^2 x dx = 3 integral sin xcos^2 x dx = 3 integral -duu^2 = -3 integral u^-2 du

Passo 7

Integrando u^-2:
-3 integral u^-2 du = -3 ( -u^-1 ) + C = 3u + C = 3cos x + C

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral integral 4 cos x , dx:
integral 4 cos x , dx = 4 sin x + C

Resposta

A integral indefinida é:
3cos x - 4 sin x + C
Onde C é a constante de integração.

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