Calcule as integrais indefinidas:
integral sen(2 x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de sin(2x) cos(x) , dx. Aqui, a gente está trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de senos e cossenos em uma soma. A identidade que vamos usar é:
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Aqui, vamos considerar A = 2x e B = x.

Passo 3

Aplicando os valores de A e B na identidade, temos:
sin(2x) cos(x) = 12 [sin(2x + x) + sin(2x - x)] = 12 [sin(3x) + sin(x)]
Então, a integral fica:
integral sin(2x) cos(x) , dx = 12 integral [sin(3x) + sin(x)] , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando isso aos nossos termos:
12 integral sin(3x) , dx = 12 ( -13 cos(3x) ) = -16 cos(3x)
e
12 integral sin(x) , dx = 12 ( -cos(x) ) = -12 cos(x)

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais:
-16 cos(3x) - 12 cos(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin(2x) cos(x) , dx = -16 cos(3x) - 12 cos(x) + C

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