Calcule as integrais indefinidas:
integral x pi^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x pi^x , dx. A gente vai usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da expressão vão ser u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integração por partes segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher u e dv na nossa integral integral x pi^x , dx.

Passo 3

Vamos deixar u = x. Isso facilita porque a derivada de x é simples. Assim, calculamos:
du = dx
Agora, o que sobra é dv = pi^x , dx. Para encontrar v, precisamos integrar dv.

Passo 4

Integrando dv = pi^x , dx, temos:
v = integral pi^x , dx = pi^xln pi
Isso porque a integral de a^x em relação a x é a^xln a.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x pi^x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot pi^xln pi - integral pi^xln pi cdot dx

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
= x pi^xln pi - 1ln pi integral pi^x , dx
Agora, vamos integrar pi^x novamente:
integral pi^x , dx = pi^xln pi

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
= x pi^xln pi - 1ln pi cdot pi^xln pi
= x pi^xln pi - pi^x(ln pi)^2

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral x pi^x , dx = x pi^xln pi - pi^x(ln pi)^2 + C
onde C é a constante de integração.

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