Calcule
. Observe que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida de uma função que envolve $ x $ e $ (x^2 + 1)^2 $. Especificamente, queremos encontrar:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de funções e integrais, especialmente sobre funções ímpares e simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
Observa que o numerador é $ x $, que é uma função ímpar (ou seja, $ f(-x) = -f(x) $), e o denominador $ (x^2 + 1)^2 $ é uma função par (porque $ (-x)^2 = x^2 $). Então, a função inteira $ f(x) $ é ímpar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais de funções ímpares em intervalos simétricos em torno de zero. Se você tiver uma função ímpar $ f(x) $ e integrar de $ -a $ a $ a $, a integral será zero:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 4
No nosso caso, estamos integrando de $ -\infty $ a $ +\infty $, que é um intervalo simétrico em torno de zero. Já que $ f(x) $ é ímpar, podemos aplicar essa propriedade diretamente.
Passo 5
Aplicando a propriedade, concluímos que:
Resposta
A integral vale 0.