Calcule integral-infty^+infty x(x^2+1)^2 d x. Observe que:
integral-infty^+infty x(x^2+1)^2 d x=integral-infty^0 x(x^2+1)^2 d x+integral0^+infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida de uma função que envolve $ x $ e $ (x^2 + 1)^2 $. Especificamente, queremos encontrar:
x
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre propriedades de funções e integrais, especialmente sobre funções ímpares e simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
f(x) = x(x^2+1)^2
Observa que o numerador é $ x $, que é uma função ímpar (ou seja, $ f(-x) = -f(x) $), e o denominador $ (x^2 + 1)^2 $ é uma função par (porque $ (-x)^2 = x^2 $). Então, a função inteira $ f(x) $ é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais de funções ímpares em intervalos simétricos em torno de zero. Se você tiver uma função ímpar $ f(x) $ e integrar de $ -a $ a $ a $, a integral será zero:
f(x)
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

No nosso caso, estamos integrando de $ -\infty $ a $ +\infty $, que é um intervalo simétrico em torno de zero. Já que $ f(x) $ é ímpar, podemos aplicar essa propriedade diretamente.

Passo 5

Aplicando a propriedade, concluímos que:
integral-infty^+infty x(x^2+1)^2 , dx = 0

Resposta

A integral vale 0.

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