É possível encontrar o valor de p, número real não nulo, tal que?
Passo 1
Vamos resolver um limite onde queremos encontrar um número real não nulo
que satisfaça a seguinte igualdade:
Aqui, trabalharemos com limites e funções radicais. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite quando
se aproxima de
, podemos usar a definição de derivada. A expressão dada se assemelha à fórmula da derivada de uma função no ponto
.
A derivada de uma função
em
é dada por:
No nosso caso, temos:
onde
e
.
Passo 3
Para facilitar, vamos reescrever a expressão do limite em termos de
. Podemos usar a propriedade de que:
e
Isso nos permite reescrever a fração original como:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão substituindo
por
, já que estamos calculando o limite quando
se aproxima de
:
Passo 5
Queremos que esse limite seja igual a 1, então temos a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar as raízes:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
):
Agora, resolvemos para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação é
.