É possível encontrar o valor de p, número real não nulo, tal que?

Passo 1

Vamos resolver um limite onde queremos encontrar um número real não nulo p que satisfaça a seguinte igualdade:
lim x p raiz[3]x-raiz[3]praizx-raizp=1
Aqui, trabalharemos com limites e funções radicais. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite quando x se aproxima de p , podemos usar a definição de derivada. A expressão dada se assemelha à fórmula da derivada de uma função no ponto p .
A derivada de uma função f(x) em p é dada por:
f'(p) = limx to p f(x) - f(p)x - p
No nosso caso, temos:
raiz[3]x-raiz[3]praizx-raizp = f(x) - f(p)g(x) - g(p)
onde f(x) = raiz[3]x e g(x) = raizx .

Passo 3

Para facilitar, vamos reescrever a expressão do limite em termos de x - p . Podemos usar a propriedade de que:
raiz[3]x - raiz[3]p = x - praiz[3]x^2 + raiz[3]x p + raiz[3]p^2
e
raizx - raizp = x - praizx + raizp
Isso nos permite reescrever a fração original como:
x - praiz[3]x^2 + raiz[3]x p + raiz[3]p^2x - praizx + raizp = raizx + raizpraiz[3]x^2 + raiz[3]x p + raiz[3]p^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão substituindo x por p , já que estamos calculando o limite quando x se aproxima de p :
raizp + raizpraiz[3]p^2 + raiz[3]p cdot p + raiz[3]p^2 = 2raizp3raiz[3]p^2

Passo 5

Queremos que esse limite seja igual a 1, então temos a equação:
2raizp3raiz[3]p^2 = 1
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de p .

Passo 6

Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3raiz[3]p^2 :
2raizp = 3raiz[3]p^2
Agora, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar as raízes:
(2raizp)^3 = (3raiz[3]p^2)^3
8p^3/2 = 27p^2

Passo 7

Dividindo ambos os lados por p^3/2 (lembrando que p neq 0 ):
8 = 27p^1/2
Agora, resolvemos para p^1/2 :
p^1/2 = 827
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar p :
p = (827)^2 = 64729

Resposta

O valor de p que satisfaz a equação é p = 64729 .

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