Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)
r(t)=lang<= t, ln t, t ln trang<=, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
r(t)=lang<= t,ln t,tln trang<=
para 1<= t<=2.
O conteúdo é “comprimento de arco de uma curva paramétrica em R^3”.
Vamos usar a fórmula
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt
aplicada a a=1 e b=2.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t) =llang<= 1,;1/t,;1cdotln t + tcdot(1/t)rrang<= =lang<= 1,;1/t,;1+ln trang<=
Em seguida, o módulo é
l|r'(t)r| =raiz1^2 + l(1/tr)^2 + l(1+ln tr)^2 =raiz1+1t^2+(1+ln t)^2

Passo 3

Logo o comprimento de arco é
L = integral1^2raiz1+1t^2+(1+ln t)^2;dt
Essa integral não tem primitiva elementar, então vamos aproximar numericamente.

Passo 4

Defina
f(t)=raiz1+1t^2+(1+ln t)^2
Usando uma integração numérica (por exemplo, regra de Simpson composta ou a função de integra-ção da calculadora), avaliamos
integral1^2f(t),dtapprox1,8583
com precisão de quatro casas decimais.

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente
Lapprox1,8583

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