Determine a única função y=y(x) tal que
d yd t=t^2-1 e y(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função y = y(x) que satisfaça a equação diferencial dydt = t^2 - 1 e que, quando t = 0 , y(0) = -1 . Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente de equações diferenciais simples. Para resolver, vamos precisar integrar a equação diferencial e usar a condição inicial para encontrar a constante da integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma equação diferencial. Aqui, temos dydt = t^2 - 1 . Isso significa que a derivada de y em relação a t é igual a t^2 - 1 . Para encontrar y , vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a t .

Passo 3

Vamos integrar dydt = t^2 - 1 :
integral dydt , dt = integral (t^2 - 1) , dt
O lado esquerdo simplifica para y , e o lado direito fica:
y = integral t^2 , dt - integral 1 , dt = t^33 - t + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -1 para encontrar o valor de C :
-1 = 0^33 - 0 + C implies -1 = 0 - 0 + C implies C = -1

Passo 5

Com C = -1 , podemos escrever a função completa:
y(t) = t^33 - t - 1
Como y é função de x , podemos substituir t por x :
y(x) = x^33 - x - 1

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é y(x) = x^33 - x - 1 .

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