Determine a única função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial
e que, quando
,
. Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente de equações diferenciais simples. Para resolver, vamos precisar integrar a equação diferencial e usar a condição inicial para encontrar a constante da integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma equação diferencial. Aqui, temos
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito fica:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 5
Com
, podemos escrever a função completa:
Como
é função de
, podemos substituir
por
:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada é
.