Determine a única função y=y(x) tal que
d yd x=2 x+3 e y(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função y = y(x) que satisfaz a derivada dydx = 2x + 3 e que, quando x = 0 , y = 2 . O assunto aqui é cálculo, mais especificamente integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos precisar integrar a expressão da derivada para achar a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar y(x) . A equação que temos é:
dydx = 2x + 3
Para encontrar y(x) , integramos ambos os lados em relação a x :
y(x) = integral (2x + 3) , dx
Vamos integrar termo a termo:
y(x) = integral 2x , dx + integral 3 , dx
A integral de 2x em relação a x é x^2 , e a integral de 3 em relação a x é 3x . Não podemos esquecer a constante de integração, que chamamos de C :
y(x) = x^2 + 3x + C

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C . Sabemos que quando x = 0 , y = 2 . Vamos substituir esses valores na expressão que encontramos:
2 = (0)^2 + 3(0) + C Rightarrow 2 = C
Então, a constante C é 2.

Resposta

A função que atende às condições do exercício é:
y(x) = x^2 + 3x + 2

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