Calcule as integrais indefinidas abaixo.

Passo 1

Estamos resolvendo a integral indefinida integral x cosl(tfracx3r),dx. O assunto aqui é integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Vamos usar a fórmula:

Passo 2

integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 3

Escolhemos as partes de forma conveniente:
u = x, dv = cosl(tfracx3r),dx
Dessa escolha segue
du = dx
e vamos calcular
v = integral cosl(tfracx3r),dx.

Passo 4

Para achar v fazemos a mudança de variável t=tfracx3, logo dt=tfrac13dx e dx=3,dt. Assim temos:
v = integral cos(t)cdot 3,dt = 3sin(t) = 3sinl(tfracx3r)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cosl(tfracx3r)dx = u,v - integral v,du
Substituindo as expressões:
= xcdot 3sinl(tfracx3r) - integral 3sinl(tfracx3r)dx
Para a última integral, usamos que
integral sinl(tfracx3r)dx = -3cosl(tfracx3r),
então
$$\int 3\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)dx = 3\cdot(-3\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)) = -9\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
integral 3sinl(tfracx3r)dx = 3cdot(-3cosl(tfracx3r)) = -9cosl(tfracx3r) 3x\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + 9\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)$$.

Resposta

3xsinl(tfracx3r) + 9cosl(tfracx3r) + C

Exercícios relacionados