Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
Estamos resolvendo a integral indefinida
. O assunto aqui é integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Vamos usar a fórmula:
Passo 2
Passo 3
Escolhemos as partes de forma conveniente:
Dessa escolha segue
e vamos calcular
Passo 4
Para achar
fazemos a mudança de variável
, logo
e
. Assim temos:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo as expressões:
Para a última integral, usamos que
então
$$\int 3\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)dx = 3\cdot(-3\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)) = -9\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).