Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a uma potência ímpar. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema binomial para expandir a expressão e depois integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
usando o teorema binomial. Esse teorema nos ajuda a expandir potências de binômios de forma organizada. A fórmula geral do teorema binomial é:
No nosso caso,
,
e
. Vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Aplicando o teorema binomial, temos:
Calculando cada termo da soma:
Então, a expressão expandida fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
-
: - Use a substituição
, então . - Reescreva a integral em termos de
e integre.
- Use a substituição
-
: - Use a substituição
, então . - Reescreva a integral em termos de
e integre.
- Use a substituição
-
: - Use identidades trigonométricas para simplificar, como
, e então faça a substituição.
- Use identidades trigonométricas para simplificar, como
-
: - Similar ao passo anterior, use identidades e substituição adequada.
-
: - Use a substituição
, então , e integre.
- Use a substituição
-
: - Use a substituição
, então , e reescreva a integral.
- Use a substituição
Após resolver todas essas integrais, some os resultados para obter a resposta final.
Resposta
Após realizar todas as integrações e simplificações, a solução da integral é:
onde
é a constante de integração.