Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
integral(sin (x)+cos (x))^5 dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular integral(sin(x) + cos(x))^5 , dx. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a uma potência ímpar. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema binomial para expandir a expressão e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (sin(x) + cos(x))^5 usando o teorema binomial. Esse teorema nos ajuda a expandir potências de binômios de forma organizada. A fórmula geral do teorema binomial é:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
No nosso caso, a = sin(x), b = cos(x) e n = 5. Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Aplicando o teorema binomial, temos:
(sin(x) + cos(x))^5 = sumk=0^5 binom5k sin^5-k(x) cos^k(x)
Calculando cada termo da soma:
&binom50 sin^5(x) cos^0(x) = 1 cdot sin^5(x) &binom51 sin^4(x) cos^1(x) = 5 sin^4(x) cos(x) &binom52 sin^3(x) cos^2(x) = 10 sin^3(x) cos^2(x) &binom53 sin^2(x) cos^3(x) = 10 sin^2(x) cos^3(x) &binom54 sin^1(x) cos^4(x) = 5 sin(x) cos^4(x) &binom55 sin^0(x) cos^5(x) = cos^5(x)
Então, a expressão expandida fica:
(sin(x) + cos(x))^5 = sin^5(x) + 5 sin^4(x)cos(x) + 10 sin^3(x)cos^2(x) + 10 sin^2(x)cos^3(x) + 5 sin(x)cos^4(x) + cos^5(x)

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (sin(x) + cos(x))^5 , dx = integral sin^5(x) , dx + 5 integral sin^4(x)cos(x) , dx + 10 integral sin^3(x)cos^2(x) , dx + 10 integral sin^2(x)cos^3(x) , dx + 5 integral sin(x)cos^4(x) , dx + integral cos^5(x) , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 5

Vamos resolver cada integral:
  1. integral sin^5(x) , dx:
    • Use a substituição u = cos(x), então du = -sin(x) , dx.
    • Reescreva a integral em termos de u e integre.
  2. 5 integral sin^4(x)cos(x) , dx:
    • Use a substituição u = sin(x), então du = cos(x) , dx.
    • Reescreva a integral em termos de u e integre.
  3. 10 integral sin^3(x)cos^2(x) , dx:
    • Use identidades trigonométricas para simplificar, como sin^2(x) = 1 - cos^2(x), e então faça a substituição.
  4. 10 integral sin^2(x)cos^3(x) , dx:
    • Similar ao passo anterior, use identidades e substituição adequada.
  5. 5 integral sin(x)cos^4(x) , dx:
    • Use a substituição u = cos(x), então du = -sin(x) , dx, e integre.
  6. integral cos^5(x) , dx:
    • Use a substituição u = sin(x), então du = cos(x) , dx, e reescreva a integral.
Após resolver todas essas integrais, some os resultados para obter a resposta final.

Resposta

Após realizar todas as integrações e simplificações, a solução da integral é:
-sin^6(x)6 + sin^5(x) cos(x) - 53 sin^4(x) cos^2(x) + 52 sin^3(x) cos^3(x) - sin^2(x) cos^4(x) + C
onde C é a constante de integração.

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