Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral x sen x cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,sen xcos x,dx
O que vamos usar é uma identidade trigonométrica para transformar o produto sen xcos x e depois aplicar integração por partes, pois aparece o produto de um polinômio ( x) por uma função trigonométrica.

Passo 2

Use a identidade
sen xcos x = tfrac12sen(2x),
portanto
integral x,sen xcos x,dx = tfrac12integral x,sen(2x),dx

Passo 3

Para resolver integral x,sen(2x),dx, aplique integração por partes escolhendo
u = x, dv = sen(2x),dx
Então
du = dx, v = integral sen(2x),dx = -tfrac12cos(2x)

Passo 4

Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral x,sen(2x),dx = xl(-tfrac12cos(2x)r) - integral l(-tfrac12cos(2x)r),dx

Passo 5

Calcule o restante:
integral x,sen(2x),dx = -tfracx2cos(2x) + tfrac12integral cos(2x),dx = -tfracx2cos(2x) + tfrac12cdottfrac12sen(2x) + C = -tfracx2cos(2x) + tfrac14sen(2x) + C

Passo 6

Retornando à integral original e multiplicando por tfrac12:
integral x,sen xcos x,dx = tfrac12integral x,sen(2x),dx = tfrac12!l(-tfracx2cos(2x) + tfrac14sen(2x)r) + C = -tfracx4cos(2x) + tfrac18sen(2x) + C

Resposta

-x4cos(2x) ;+;18sen(2x)+C

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