Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
integral(2 sin (x)+3 cos (x))^5 dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de (2 sin(x) + 3 cos(x))^5 em relação a x. Esse exercício envolve produtos de seno e cosseno elevados a potências ímpares, então vamos usar algumas técnicas de trigonometria e substituição para resolver. O que a gente vai precisar é reescrever essa expressão de uma forma que facilite a integração, usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2 sin(x) + 3 cos(x). A gente pode escrever isso na forma R sin(x + alpha), onde R é uma constante e alpha é um ângulo. Para encontrar R e alpha, usamos as seguintes fórmulas:
R = raiza^2 + b^2
alpha = arctan(ba)
Aqui, a = 2 e b = 3.

Passo 3

Calculando R:
R = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
E calculando alpha:
alpha = arctan(32)
Então, podemos reescrever 2 sin(x) + 3 cos(x) como:
raiz13 sin(x + arctan(32))

Passo 4

Agora, substituímos isso na integral original:
integral (2 sin(x) + 3 cos(x))^5 dx = integral (raiz13 sin(x + arctan(32)))^5 dx
Simplificando:
integral 13^5/2 sin^5(x + arctan(32)) dx
= 13^5/2 integral sin^5(x + arctan(32)) dx

Passo 5

Para integrar sin^5(u) onde u = x + arctan(32), vamos usar a identidade:
sin^n(u) = sin^n-1(u) cdot sin(u)
E reescrever em termos de cos(u) usando sin^2(u) = 1 - cos^2(u). Assim:
sin^5(u) = sin^4(u) cdot sin(u) = (1 - cos^2(u))^2 cdot sin(u)

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Deixe v = cos(u), então dv = -sin(u) du. A integral fica:
integral (1 - v^2)^2 (-dv) = -integral (1 - 2v^2 + v^4) dv
= -(v - 23v^3 + 15v^5) + C

Passo 7

Voltando para v = cos(u):
- (cos(u) - 23cos^3(u) + 15cos^5(u)) + C
= -cos(u) + 23cos^3(u) - 15cos^5(u) + C

Passo 8

Lembrando que u = x + arctan(32), substituímos de volta:
- cos(x + arctan(32)) + 23cos^3(x + arctan(32)) - 15cos^5(x + arctan(32)) + C
Multiplicando pelo fator inicial 13^5/2:
13^5/2 ( - cos(x + arctan(32)) + 23cos^3(x + arctan(32)) - 15cos^5(x + arctan(32)) ) + C

Resposta

A integral de (2 sin(x) + 3 cos(x))^5 dx é igual a
13^5/2 ( - cos(x + arctan(32)) + 23cos^3(x + arctan(32)) - 15cos^5(x + arctan(32)) ) + C
onde C é a constante de integração.

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