Exercícios de Revisão: Produtos de Seno e Cosseno - Caso I: Alguma Potência Impar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de
em relação a
. Esse exercício envolve produtos de seno e cosseno elevados a potências ímpares, então vamos usar algumas técnicas de trigonometria e substituição para resolver. O que a gente vai precisar é reescrever essa expressão de uma forma que facilite a integração, usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. A gente pode escrever isso na forma
, onde
é uma constante e
é um ângulo. Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando
:
E calculando
:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Agora, substituímos isso na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Para integrar
onde
, vamos usar a identidade:
E reescrever em termos de
usando
. Assim:
Passo 6
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Deixe
, então
. A integral fica:
Passo 7
Voltando para
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando pelo fator inicial
:
Resposta
A integral de
é igual a
onde
é a constante de integração.