Prove as seguintes equivalências:
i) |x|<a, a>0 Leftrightarrow -a<x<a;
ii) |x-a|<b, b>0 Leftrightarrow a-b<x<a+b.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para provar duas equivalências envolvendo valor absoluto e desigualdades. A gente vai trabalhar com conceitos de inequações e valor absoluto. Para resolver, vamos lembrar que o valor absoluto de um número representa a sua distância até o zero na reta numérica, e vamos usar propriedades básicas das desigualdades para chegar nas conclusões.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equivalência:
i) |x| < a, a > 0 rightarrow -a < x < a
Primeiro, vamos entender o que significa |x| < a . O símbolo |x| representa o valor absoluto de x , ou seja, a distância de x até zero na reta numérica. Quando dizemos que |x| < a , estamos dizendo que essa distância é menor que a .
Para eliminar o valor absoluto, sabemos que:
|x| < a equiva<= a -a < x < a
Por quê? Porque |x| < a significa que x está a uma distância menor que a do zero, ou seja, x pode ser positivo ou negativo, mas sempre dentro do intervalo entre -a e a .

Passo 3

Agora vamos para a segunda equivalência:
ii) |x - a| < b, b > 0 rightarrow a - b < x < a + b
Aqui, o valor absoluto é |x - a| , que representa a distância entre x e a na reta numérica. Quando dizemos que |x - a| < b , estamos afirmando que essa distância é menor que b .
Para resolver isso, eliminamos o valor absoluto da seguinte forma:
|x - a| < b equiva<= a -b < x - a < b
Agora, vamos adicionar a a todas as partes da desigualdade para isolar x :
-b + a < x < b + a
Simplificando, temos:
a - b < x < a + b
Então, |x - a| < b é o mesmo que dizer que x está entre a - b e a + b .

Resposta

As equivalências foram provadas:
i) |x| < a é equivalente a -a < x < a .
ii) |x - a| < b é equivalente a a - b < x < a + b .

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