Prove as seguintes equivalências:
i)
;
ii)
.
i)
ii)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para provar duas equivalências envolvendo valor absoluto e desigualdades. A gente vai trabalhar com conceitos de inequações e valor absoluto. Para resolver, vamos lembrar que o valor absoluto de um número representa a sua distância até o zero na reta numérica, e vamos usar propriedades básicas das desigualdades para chegar nas conclusões.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equivalência:
i)
Primeiro, vamos entender o que significa
. O símbolo
representa o valor absoluto de
, ou seja, a distância de
até zero na reta numérica. Quando dizemos que
, estamos dizendo que essa distância é menor que
.
Para eliminar o valor absoluto, sabemos que:
Por quê? Porque
significa que
está a uma distância menor que
do zero, ou seja,
pode ser positivo ou negativo, mas sempre dentro do intervalo entre
e
.
Passo 3
Agora vamos para a segunda equivalência:
ii)
Aqui, o valor absoluto é
, que representa a distância entre
e
na reta numérica. Quando dizemos que
, estamos afirmando que essa distância é menor que
.
Para resolver isso, eliminamos o valor absoluto da seguinte forma:
Agora, vamos adicionar
a todas as partes da desigualdade para isolar
:
Simplificando, temos:
Então,
é o mesmo que dizer que
está entre
e
.
Resposta
As equivalências foram provadas:
i)
é equivalente a
.
ii)
é equivalente a
.