Encontre a série de Taylor centrada em a de f(x) e encontre também o intervalo de convergência.
f(x)=x^3, a=-1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x^3 centrada em a=-1. Vamos usar a definição de Taylor:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n,
sabendo que, como f é um polinômio de grau 3, a série truncará em n=3.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e avaliamos em a=-1:
f(x)=x^3, f'(x)=3x^2, f''(x)=6x, f'''(x)=6, f^(n)(x)=0 (n>=4)
Avaliações em x=-1:
f(-1)=(-1)^3=-1, f'(-1)=3cdot(-1)^2=3, f''(-1)=6cdot(-1)=-6, f'''(-1)=6

Passo 3

Montamos a série de Taylor até n=3:
f(x)=sumn=0^3f^(n)(-1)n!(x+1)^n =-1 + 31!(x+1) + -62!(x+1)^2 + 63!(x+1)^3
Simplificando os coeficientes:
f(x)=-1 + 3(x+1) -3(x+1)^2 + (x+1)^3

Passo 4

Como é uma série de um polinômio, ela converge para f(x) para todo xinR. Logo, o intervalo de convergência é (-infty,infty).

Resposta

A série de Taylor de f(x)=x^3 centrada em a=-1 é
f(x)=-1 + 3(x+1) -3(x+1)^2 + (x+1)^3
e seu intervalo de convergência é (-infty,infty).

Exercícios relacionados