Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral x sec ^2(2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x sec^2(2x) , dx. Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da função que podemos separar para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções que são difíceis de integrar juntas. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = sec^2(2x) , dx
Agora, precisamos encontrar du e v:
du = dx (derivando $u$ em relação a $x$) çã
Para encontrar v, vamos integrar dv:
v = integral sec^2(2x) , dx

Passo 4

Sabemos que a integral de sec^2(ax) é tan(ax)a. Aplicando isso:
v = tan(2x)2

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sec^2(2x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= x cdot tan(2x)2 - integral tan(2x)2 cdot dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que sobrou:
integral tan(2x)2 , dx = 12 integral tan(2x) , dx
Sabemos que integral tan(ax) , dx = -ln|cos(ax)|a + C, então:
= 12 ( -ln|cos(2x)|2 ) = -ln|cos(2x)|4

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral x sec^2(2x) , dx = x tan(2x)2 - ( -ln|cos(2x)|4 ) + C
Simplificando:
= x tan(2x)2 + ln|cos(2x)|4 + C

Resposta

integral x sec^2(2x) , dx = x tan(2x)2 + ln|cos(2x)|4 + C

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