Dada f(x, y)=z uma função com derivadas parciais em (x0, y0) in Domf, o gráfico de g(x)=f(x, y0) é a interseção do plano y=y0 com o gráfico de f. Para f(x, y) =-x^22-y^2+258, calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (1 / 2,1, f(1 / 2,1) ).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=-x^22-y^2+258
e diz que, fixando y=y0=1, obtemos a função de uma variável
g(x)=f(x,1).
O que queremos é a inclinação da reta tangente ao gráfico de g em x0=tfrac12. Para isso, vamos usar a relação entre derivada de g e derivada parcial de f.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(-tfracx^22-y^2+tfrac258r) =-x

Passo 3

Como g(x)=f(x,1), vale
g'(x)=partial fpartial x(x,1)
Logo, na abscissa x0=tfrac12 temos
g'l(tfrac12r) =partial fpartial xl(tfrac12,1r) =-tfrac12

Resposta

A inclinação da reta tangente é -tfrac12.

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