Dada a função f(x, y)=x^2 y cos (x y pi), calcule partial fpartial x(-2,1) e partial fpartial y(-2,1) e interprete estes números.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y de
f(x,y)=x^2ycos(pi x y)
no ponto (-2,1). Vamos usar as regras do produto e da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para partial fpartial x escrevemos f(x,y)=u(x,y),v(x,y) com u=x^2y e v=cos(pi x y). Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = (2x y)cos(pi x y) + x^2yl(-sin(pi x y)r)cdot(pi y)

Passo 3

No ponto (-2,1) temos cos(-2pi)=1 e sin(-2pi)=0. Logo
partial fpartial x(-2,1) = 2cdot(-2)cdot1cdot1 - picdot1cdot(-2)^2cdot0 = -4

Passo 4

Para partial fpartial y usamos u=x^2y e v=cos(pi x y) novamente. Assim,
partial fpartial y = partial upartial y,v + u,partial vpartial y = x^2cos(pi x y) + x^2yl(-sin(pi x y)r)cdot(pi x)

Passo 5

Ainda em (-2,1) valem cos(-2pi)=1, sin(-2pi)=0 e x^2=4. Então
partial fpartial y(-2,1) = 4cdot1 - picdot(-2)cdot4cdot1cdot0 = 4

Passo 6

Interpretando, partial fpartial x(-2,1)=-4 significa que, mantendo y=1 fixo, o valor de f diminui a uma taxa de 4 unidades de f para cada unidade de x. Já partial fpartial y(-2,1)=4 indica que, mantendo x=-2 fixo, f aumenta a 4 unidades de f para cada unidade de y.

Resposta

partial fpartial x(-2,1)=-4, partial fpartial y(-2,1)=4.

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