Utilizando diferenciação implícita, determine a equação da reta tangente à curva definida por
x^2-x y+y^2=7,
no ponto (3,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2-x y+y^2=7
e pede a reta tangente em (3,2). O conteúdo é diferenciação implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x, isolar dfracdydx, avaliar em (3,2) para obter o coeficiente angular m e, por fim, escrever a equação da reta.

Passo 2

Derivando em x cada termo da equação
ddx(x^2)-ddx(x y)+ddx(y^2)=ddx(7),
temos
2x-l(y + x,y'r)+2y,y'=0,
onde usamos y'=dfracdydx e dfracddx(x y)=y + x,y'.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y':
2x - y - x,y' + 2y,y' = 0 Longrightarrow (-x+2y),y' = y - 2x
Portanto
y' = y - 2x2y - x

Passo 4

Em (3,2) temos
y' l|(3,2) = 2 - 2cdot32cdot2 - 3 = 2 - 64 - 3 = -41 = -4
Logo o coeficiente angular da reta tangente é m=-4.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (x0,y0)=(3,2) é
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 2 = -4(x - 3)
Reescrevendo em forma explícita,
y = -4x + 12 + 2 Longrightarrow y = -4x + 14

Resposta

A reta tangente é y = -4x + 14.

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