Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Temos a integral integral sin^3l(tfracx2r)cos^5l(tfracx2r),d x. O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno, e vamos usar identidade trigonométrica e substituição.

Passo 2

Reescrevemos sin^3l(tfracx2r) como sin^2l(tfracx2r)cdotsinl(tfracx2r) e separamos um fator cosl(tfracx2r),d x. Note que sin^2(t)=1-cos^2(t). Assim:
integral sin^3l(tfracx2r)cos^5l(tfracx2r),d x =integral sin^2l(tfracx2r),sinl(tfracx2r), cos^4l(tfracx2r),cosl(tfracx2r),d x
Fazemos a substituição u=sinl(tfracx2r). Então du=tfrac12cosl(tfracx2r),d x, ou seja cosl(tfracx2r),d x=2,du. Além disso cos^2l(tfracx2r)=1-u^2.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos:
I=2integral u,(u^2)^1(1-u^2)^2,du =2integral u^3(1-u^2)^2,du =2integrall[u^3-2u^5+u^7r],du
Agora integramos termo a termo:
2[u^44-2u^66+u^88]+C =12u^4-23u^6+14u^8+C

Passo 4

Voltando à variável original u=sinl(tfracx2r), chegamos à solução final.

Resposta

tfrac12sin^4l(tfracx2r)-tfrac23sin^6l(tfracx2r)+tfrac14sin^8l(tfracx2r)+C

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